2015年的高考數(shù)學(xué)試卷(北京卷)，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》和《北京市普通高中新課程數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見和模塊學(xué)習(xí)要求(試行)》以及《2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試北京卷考試說(shuō)明》為依據(jù)，在命題思路、考查方式、試題呈現(xiàn)方式等方面，遵循穩(wěn)定與發(fā)展相結(jié)合，繼承與創(chuàng)新相結(jié)合的原則。試卷設(shè)計(jì)堅(jiān)持以學(xué)生為本的基本理念，既體現(xiàn)出了高考作為選拔性考試的要求，又在引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方面進(jìn)行了不斷的探索。
試卷在總結(jié)和吸收高考數(shù)學(xué)北京卷十三年自主命題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，嘗試創(chuàng)新。試題整體難度、考查內(nèi)容、呈現(xiàn)方式等方面突顯北京特色，注重對(duì)學(xué)生未來(lái)發(fā)展所需要的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，注重對(duì)學(xué)生運(yùn)用基本數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，分析與解決問(wèn)題綜合能力的考查。合理控制試題難度與區(qū)分度，注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，正確引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。在促進(jìn)有利于高校合理選才、科學(xué)評(píng)價(jià)上作出有益的探索。
1、保持特色，注重基礎(chǔ)知識(shí)的理解
多年來(lái)，高考數(shù)學(xué)北京卷一直堅(jiān)持“簡(jiǎn)潔、清晰、親切、嚴(yán)謹(jǐn)”的風(fēng)格，難度保持穩(wěn)定，注重對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的全面考查。例如，理科第1、2、3、4、5、9、10、11、12、13、15、16、17等試題，注重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。這些知識(shí)和技能，既是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說(shuō)明中所要求的，也是作為一名理科生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和未來(lái)發(fā)展所必需的。
在試題表述上，力求準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔，貼近中學(xué)生的閱讀習(xí)慣，避免在閱讀和理解上設(shè)置障礙和陷阱。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在理解，而不是生搬硬套。對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，并不要求學(xué)生死記硬背概念、公式和法則，而是注重考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和把握。例如，理科卷第6題主要考查數(shù)列、基本不等式性質(zhì)等基本數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和簡(jiǎn)單運(yùn)用。第16題的前兩問(wèn)主要考查概率的基本概念和簡(jiǎn)單計(jì)算，較為基礎(chǔ)；第三問(wèn)考查學(xué)生對(duì)方差概念的本質(zhì)理解，充分反映了北京試題“多想少算”特點(diǎn)。
理科卷第17、18、19、20題也從基本的問(wèn)題開始。這樣做法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在于不會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)敬而遠(yuǎn)之，無(wú)從下手。例如，18題的第一問(wèn)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；即使是第20題的第一問(wèn)，要求寫出集合的所有元素，主要考查的是學(xué)生能否對(duì)集合概念理解和運(yùn)用。
2、基于教材，重視主干知識(shí)的掌握
教材是學(xué)校教學(xué)更基本、更主要的依據(jù)，也是落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容和能力目標(biāo)要求的載體。有些問(wèn)題源于教材，試圖通過(guò)這一導(dǎo)向，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，改變教學(xué)中過(guò)分依賴復(fù)習(xí)資料、脫離教材、題海戰(zhàn)術(shù)的弊端。
選擇和填空題中的基本題大多數(shù)是源于教材中的例題或習(xí)題。例如，理科卷第9題，寫出的展開式中的系數(shù)；第11題，在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)到直線的距離。這些都是常見的基本問(wèn)題。第15題，已知三角函數(shù)表達(dá)式，先運(yùn)用公式化簡(jiǎn)，然后求出更小正周期和在給定區(qū)間上的更小值。這基本上是教材上例(習(xí))題的變形。
雖然試題對(duì)考試說(shuō)明中的各個(gè)部分的內(nèi)容均有不同程度的涉及，但在考查要求上還是有主次之分，做到重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考查。重點(diǎn)考查的知識(shí)主要有函數(shù)與導(dǎo)數(shù),平面向量與立體幾何，三角函數(shù)，解析幾何，統(tǒng)計(jì)與概率理科卷。`
當(dāng)然，這部分內(nèi)容在基礎(chǔ)性、層次性和綜合性等方面還是有一個(gè)總體設(shè)計(jì)，并從一定程度上保持試卷整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。
3、著眼未來(lái)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)
現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)越來(lái)越成為每一個(gè)公民所必備的基本素養(yǎng)。因此數(shù)學(xué)學(xué)科的高考既關(guān)注學(xué)科本身的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更需要關(guān)注于有利于促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展的數(shù)學(xué)空間想象能力、推理論證能力、數(shù)據(jù)分析與處理能力以及問(wèn)題解決能力等基本素養(yǎng)的考查。注重通性、通法的考查。
例如，理科卷第5題，根據(jù)三棱錐的三視圖來(lái)求三棱錐的表面積，這需要學(xué)生具有一定的空間想象能力。第17題，立體幾何題，既考查了學(xué)生的空間想象能力，又考查了學(xué)生的推理論證能力。而16題則是對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析與處理能力以及問(wèn)題解決能力的綜合考查。
4、關(guān)注實(shí)踐，考察學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)
加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系是數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要導(dǎo)向，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要目標(biāo)。因此，試卷設(shè)計(jì)了適當(dāng)?shù)膯?wèn)題來(lái)考查學(xué)生閱讀、理解，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
問(wèn)題背景的選擇做到以下幾個(gè)方面：
(1)問(wèn)題情景貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際，不給學(xué)生因?qū)ΜF(xiàn)實(shí)問(wèn)題的不了解而造成閱讀、理解方面的困難。
(2)問(wèn)題設(shè)計(jì)基于真實(shí)資料和相關(guān)數(shù)據(jù)。
(3)所解決的問(wèn)題的結(jié)論有現(xiàn)實(shí)意義。
今年北京高考文科試卷的第14題是考試成績(jī)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法�？荚囀菣z查學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的重要手段，但許多時(shí)候往往只用分?jǐn)?shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單排隊(duì)，加重了分?jǐn)?shù)的競(jìng)爭(zhēng)性和學(xué)生的心理負(fù)擔(dān)。學(xué)會(huì)運(yùn)用科學(xué)方法對(duì)考試結(jié)果進(jìn)行分析，可以為教師個(gè)性化指導(dǎo)學(xué)生提供重要依據(jù)，也能夠幫助學(xué)生分析自己的學(xué)習(xí)狀況，發(fā)現(xiàn)自己的優(yōu)勢(shì)與不足。這道高考試題以此問(wèn)題為背景。
高三年級(jí)位學(xué)生參加期末考試，某班位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)、數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)?cè)谌昙?jí)中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生。
從這次考試成績(jī)看，
在甲、乙兩人中，其語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是_______；
在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是_______.
此題考查學(xué)生閱讀圖表，提取信息、分析信息的能力，這些都是今后工作生活中需要具備的能力。
在第一問(wèn)里，關(guān)注的不是甲、乙兩位同學(xué)名次之間的關(guān)系，而是他們各自的語(yǔ)文成績(jī)與總成績(jī)的相關(guān)程度，關(guān)注的是如何利用成績(jī)分布信息分析一名學(xué)生在不同課程中的學(xué)習(xí)狀況，找到他的優(yōu)勢(shì)科目。這對(duì)學(xué)生后續(xù)階段的學(xué)習(xí)以及選擇專業(yè)方向方面都有積極意義。
在第二問(wèn)里，同樣是學(xué)生自己的數(shù)學(xué)成績(jī)與自己的語(yǔ)文成績(jī)比較，解此題的關(guān)鍵是要搞清楚丙在第一個(gè)圖里對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是哪個(gè)。
數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的考查，在一定程度上反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的本質(zhì)理解，更反映出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法定量客觀理性分析問(wèn)題的思維習(xí)慣，而這些正是一個(gè)現(xiàn)代公民應(yīng)該必備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
5、適度綜合，體現(xiàn)一定的層次性
為高等學(xué)校選拔人才是高考的主要任務(wù)。試卷在保證基礎(chǔ)性、難度適中的前提下，還需要考查學(xué)生的綜合能力，以滿足人才選拔的要求。因此在試題的整體設(shè)計(jì)上，注意到層次性，讓不同能力水平的學(xué)生能夠得到充分的展示。主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：
